Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（0，4），拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過點A和C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）該拋物線的對稱軸將平行四邊形ABCO分成兩部分，對稱軸左側(cè)部分的圖形面積記為S1，右側(cè)部分圖形的面積記為S2，求S1與S2的比．

（3）在y軸上取一點D，坐標是（0，），將直線OC沿x軸平移到O′C′，點D關(guān)于直線O′C′的對稱點記為D′，當點D′正好在拋物線上時，求出此時點D′坐標并直接寫出直線O′C′的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCO是平行四邊形，

∴BC=OA，BC∥OA．

∵A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（0，4），

∴點C的坐標為（2，4）．

∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過點A和C．

∴．

解得：．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

（2）如圖1，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

∴對稱軸x=﹣=，

設OC所在直線的解析式為y=ax，

∵點C的坐標為（2，4），

∴2a=4，即a=2．

∴OC所在直線的解析式為y=2x．

當x=時，y=1，則點F為（，1）．

∴S2=EC•EF

=×（2﹣）×（4﹣1）=．

∴S1=S四邊形ABCO﹣S2=2×4﹣=．

∴S1：S2=： =23：9．

∴S1與S2的比為23：9．

（3）過點D作DM⊥CO，交x軸于點M，如圖2，

∵點C的坐標為（2，4），

∴tan∠BOC=．

∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，

∴tan∠OMD==．

∵點D的坐標是（0，），

∴=，即OM=7．

∴點M的坐標為（7，0）．

設直線DM的解析式為y=kx+b，

則有，

解得：

∴直線DM的解析式為y=﹣x+．

∵點D與點D′關(guān)于直線O′C′對稱，

∴DD′⊥O′C′，且DD′的中點在直線O′C′上．

∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．

∴點D′是直線DM與拋物線的交點．

聯(lián)立

解得：，，

∴點D′的坐標為（﹣1，4）或（，）．

設直線O′C′的解析式為y=2x+c，

①當點D′的坐標為（﹣1，4）時，如圖3，

線段DD′的中點為（，）即（﹣，），

則有2×（﹣）+c=，

解得：c=．

此時直線O′C′的解析式為y=2x+．

②當點D′的坐標為（，）時，如圖4，

同理可得：此時直線O′C′的解析式為y=2x+．

綜上所述：當點D′的坐標為（﹣1，4）時，直線O′C′的解析式為y=2x+；當點D′的坐標為（，）時，直線O′C′的解析式為y=2x+．