Question

如圖，已知等邊△ABC，BD⊥AC，E是BC延長線上的一點，且CE=AC．
（1）試說明△CDE為等腰三角形；
（2）DB與DE是否相等，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：
∵等邊三角形ABC，DB⊥AC，
∴∠ACB=60°，CD=AD=BC，∠DCB=30°，
∵CE=BC，
∴CE=CD，
∴△CDE為等腰三角形；
（2）DB與DE相等，
理由如下：
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC
∴∠CBD=∠ACB=30°，CD=AC，
∵CE=BC
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=ED．
分析：（1）由等邊三角形ABC得到∠ABC為60°，又DB垂直AC，根據(jù)“三線合一”得到∠DBC為30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到CD等于BC的一半，由題中已知的CE等于AC的一半，等量代換可得CD=CE；
（2）由等邊三角形ABC得到∠ACB為60°，又（1）得到CD=CE，根據(jù)“等邊對等角”以及外角性質(zhì)得到∠E=30°，又∠DBC為30°，故兩角相等，再根據(jù)“等角對等邊”得到BD=DE．
點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．利用等腰三角形的性質(zhì)可以解決證明角、邊的相等問題，尤其在證明其性質(zhì)和判定中展示的轉(zhuǎn)換意識，對同學(xué)們分析和解決問題能力的提高有非常重要的價值．