【題目】如圖:已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,點(diǎn)DAB上任意一點(diǎn),AEAB,且AE=BD,DEAC相交于點(diǎn)F

1)試判斷△CDE的形狀,并說(shuō)明理由.

2)是否存在點(diǎn)D,使AE=AF?如果存在,求出此時(shí)AD的長(zhǎng),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)△CDE是等腰直角三角形,見(jiàn)解析;(2)存在AD=1

【解析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求∠B=∠BAC=45°,再求出∠CAE=45°,從而得到∠B=∠CAE,再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=CE,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE=∠BCD,再求出∠DCE=90°,從而得解;(2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ADE=22.5",然后求出∠ADC=67.5",利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACD=67.5°,從而得到∠ACD=∠ADC,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到AD=AC.

解:(1)△CDE是等腰直角三角形.

理由如下:

∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠B=∠BAC=45°,

∵AE⊥AB,

∴∠CAE=90°-45°=45°,

∴∠B=∠CAE,

在△ACE和△BCD中,,

∴△ACE≌△BCD(SAS),

∴CD=CE,∠ACE=∠BCD,

∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形;

(2)存在AD=1..

理由如下:

∵AE=AF,∠CAE=45°,

∴∠AEF=∠AFE=(180°-45°)=67.5°,.

∴∠ADE=90°-67.5°=22.5°,

∵△CDE是等腰直角三角形,

∴∠CDE=45°,

∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°,

在△ACD中,∠ACD=180°-45°-67.5°=67.5°,

∴∠ACD=∠ADC,

∴AD=AC=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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的值不會(huì)發(fā)生變化

PAPB始終相等

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