Question

已知：拋物線y=-x²+px+q交x軸于點A、B，交y軸于點C，又∠ACB=90°，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)平行于x軸的直線交拋物線于點M、N，是否存在以MN為直徑且與x軸相切的圓？如果不存在，說明理由；如果存在，求出圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）欲求拋物線的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q與方程x²-px-q=0的兩根有聯(lián)系，另一方面q等于線段OC的長，而OC²=|OA|•|OB|，且|OA|、|OB|又是方程x²-px-q=0的兩根的絕對值，這就使p與q能建立聯(lián)系，從中求出p、q；
（2）本例是存在型問題，如果存在滿足題設(shè)條件的圓，從圖形直觀看出；圓心必定在拋物線的對稱軸上，且半徑是圓心的縱坐標的絕對值．

解答：解：（1）設(shè)A、B兩點的橫坐標分別為x₁，x₂，則x₁，x₂是方程x²-px-q=0的兩個根，且x₁＜0＜x₂，x₁+x₂=p，x₁x₂=-q＜0
∵在Rt△ABC中，OC為斜邊AB上的高，
∴OC²=|OA|•|OB|=|x₁x₂|=q，
又∵OC²=q²，
∴q²=q，
因為拋物線不經(jīng)過原點，∴q≠0，故q=1
由三角函數(shù)的定義和x₁＜0＜x₂，易得：
tan∠CAO=|

OC

AO

|=-

1

x1

tan∠CBO=|

OC

BO

|=-

1

x2

由題設(shè)，得-

1

x1

-

1

x2

=-

x1+x2

x1x2

=2，
則x₁+x₂=-2x₁x₂，
∵x₁+x₂=p，x₁x₂=-q=-1，
∴p=2，
故拋物線得解析式為：y=-x²+2x+1；

（2）設(shè)點M、N的坐標為（x₃，r），（x₄，r），則x₃，x₄是方程r=-x²+2x+1，即-x²+2x+1-r=0的兩個根．
∴x₃+x₄=2，x₃x₄=r-1，
∴|MN|=|x3-x4|=

(x3+x4)2-4x3x4

=

4-4(r-1)

=2

2-r

，
∵圓與x軸相切（假設(shè)圓存在），
∴

1

2

|MN|=|r|，即

2-r

=|r|，
解方程得：r₁=1或r₂=-2，
∴所求圓的半徑為1或2．

點評：此題主要考查了代數(shù)、三角、幾何的綜合題，涉及二次函數(shù)、方程、三角函數(shù)和Rt△等多方面的知識．