Question

（2013•鄖西縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0的兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足x₁²-x₂²=0．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y=

4k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)Rt△OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB交于C（如圖），求S_△OBC．

Answer 1

分析：（1）首先由一元二次方程根的判別式得出k的取值范圍，然后由x₁²-x₂²=0得出x₁-x₂=0或x₁+x₂=0，再運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值，由k的幾何意義，可知S_△OCA=

1

2

|k|．
（2）過(guò)D作DE⊥OA于E，則S_△ODE=

1

2

|k|．易證△ODE∽△OBA，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出S_△OBA，最后由S_△OBC=S_△OBA-S_△OCA，得出結(jié)果．

解答：解：（1）∵x²+（2k-1）x+k²=0有兩根，
∴△=（2k-1）²-4k²≥0，
即k≤

1

4

．
由x₁²-x₂²=0得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0．
當(dāng)x₁+x₂=0時(shí)，-（2k-1）=0，解得k=

1

2

不合題意，舍去；
當(dāng)x₁-x₂=0時(shí)，x₁=x₂，△=（2k-1）²-4k²=0，
解得：k=

1

4

符合題意．

（2）∵y=

4k

x

，k=

1

4

，
∴雙曲線的解析式為：y=

1

x

．
過(guò)D作DE⊥OA于E，則S_△ODE=S_△OCA=

1

2

×1=

1

2

；
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴

S△OBA

S△ODE

=（

OB

OD

）²=4，
∴S_△OBA=4×

1

2

=2，
∴S_△OBC=S_△OBA-S_△OCA=2-

1

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．