Question

如下左圖所示，直線AC∥BD，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分（線上各點不屬于任何部分）．當動點P（不在直線AB上）落在某個部分時，連接PA、PB，構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角．
（1）當動點P落在第①部分時（如圖1），求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時（如圖2），∠APB=∠PAC+∠PBD還能否成立（直接回答成立或不成立）
（3）當動點P落在第③部分時，請?zhí)骄俊螦PB、∠PAC、∠PBD之間的數(shù)量關系．

Answer 1

解：（1）過點P作直線AC的平行線（如圖），
∵AC∥PQ，AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，
又∵∠APB=∠1+∠2，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．
過點P作AC的平行線PQ，∠APB=∠1+∠2，
∵直線AC∥BD，
∴∠PAC+∠1=180°，∠PBD+∠2=180°，
∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°，
故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）設射線BA將區(qū)域③分成Ⅰ、Ⅱ兩部分（如左圖），
①若點P位于第Ⅰ部分（如中圖），則∠PBD=∠3，∠PAC+∠APB=∠3，
所以∠APB=∠PBD-∠PAC，
②若點P位于第Ⅱ部分（如右圖），則∠PBD=∠6+∠ABD，∠PAC=∠4+∠5，∠ABD=∠5，
∴∠PAC-∠PBD=∠4-∠6，
而∠6+∠APB=∠4，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．
③P落在射線BA上時，∠PAC=∠PBD，∠APB=0°．

分析：（1）過點P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質將∠PAC，∠PBD等量轉化，證出結論．
（2）過點P作AC的平行線PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC與∠APQ是一對同旁內角，∠QPB與∠PBD也是一對同旁內角，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，發(fā)現(xiàn)三個角的和是360度．
（3）根據(jù)BA的延長線上，或兩側分別解答．
點評：通過動點P所在的不同位置而得出不同結論的探究，訓練學生的發(fā)散思維能力．