Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D在y軸上，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD。已知， DO⊥AB， OE⊥BC，E、O分別為垂足，BC="BO" ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(1) 求證：DO=EO
(2) 已知：C點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ， 8），
①求等腰梯形ABCD的腰長；
②問題探究：在這個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)F、D、O、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合要求的F點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明理由；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）利用ASA求證△AOD≌△BOF，然后得出DO=EO；
(2)①10 ②F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6.4 ，12.8）

試題分析：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD
∴∠OAD=∠OBE(等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等)
AD=BC
∵ DO⊥AB， OE⊥BC
∴∠DOA=∠BEO=90°
∴△AOD≌△BOF（ASA），
∴ DO="EO"
（2）利用勾股定律求出腰長，利用菱形邊的性質(zhì)求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后再平移得出F點(diǎn)的坐標(biāo)。
①設(shè)等腰梯形ABCD的腰長為x，
作CH⊥AB，則矩形ODCH中

OH=DC=4，CH=OD=8，BH=x-4
在R t △CBH中,由勾股定理得

解得x=10
答：等腰梯形ABCD的腰長為10.
②在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)F、D、O、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
∵ OD=OEDE
∴以F、D、O、E為頂點(diǎn)的菱形唯一存在，四條邊只能是是OD、OE、FD、FE，
在菱形DOEF中，F(xiàn)E∥OD，且FE=OD=8
在R t △BOE中，作EG⊥OB，垂足為G.
BO=10，OE=8，則BE=6
由面積法,得EG=4.8
在R t △GOE中,OE=8，EG=4.8，則OG=6.4，即E(6.4,4.8)
將E點(diǎn)向上平移8個(gè)單位，得到點(diǎn)F,GF=4.8+8=12.8
∴ F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6.4 ，12.8）
點(diǎn)評(píng)：該題較為復(fù)雜，主要考查學(xué)生對(duì)幾何圖在坐標(biāo)軸中表示形式以及意義，對(duì)于證明題要熟練幾何中的各種性質(zhì)和判定。