Question

（2008•攀枝花）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB為⊙O的直徑，且AB=8cm，AD=16cm，BC=14cm，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊向A以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

求：
（1）要使四邊形PQDC為直角梯形和等腰梯形，t應(yīng)分別為多少？
（2）要使直線PQ與⊙O相切，求t的值．
（3）分別寫(xiě)出當(dāng)直線PQ與⊙O相交、相離時(shí)t的取值范圍．（此問(wèn)直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)BP=AQ時(shí)，四邊形是直角梯形；根據(jù)AD-BC=2，可以得到：當(dāng)DQ-PC=4時(shí)，四邊形PQDC是等腰梯形，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則當(dāng)PQ與⊙O相切時(shí)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：PQ=BP+AQ，要使直線PQ與⊙O相切，則一定有（BP+AQ）²=AB²+QE²，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）根據(jù)（2）解得的結(jié)果，t=

4

3

或t=4，直線PQ從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)與圓相交，一直到當(dāng)t=

4

3

時(shí)，直線與圓相切；再運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓相離，再到t=4時(shí)，直線與圓相切，然后相交，直到停止．

解答：解：（1）由題意知：當(dāng)t=16-3t，即t=4（秒）時(shí)，四邊形PQDC是直角梯形；
∵AD-BC=2，
∴當(dāng)DQ-PC=4時(shí)，四邊形PQDC是等腰梯形，
則3t-（14-t）=4，
解得：t=4.5（秒）；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則當(dāng)PQ與⊙O相切時(shí)，有：
（BP+AQ）²=AB²+QE²
則（16-2t）²=8²+（16-t-3t）²，
解得：t=

4

3

或t=4；

（3）直線PQ與⊙O相交時(shí)：0≤t＜

4

3

或4＜t≤

16

3

．
直線PQ與⊙O相離時(shí)：

4

3

＜t＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及勾股定理，正確求得直線PQ與圓相切時(shí)t的值是關(guān)鍵．