Question

如圖，拋物線y=的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．

 (1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______ ；

 (2)線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

 (3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個?

Answer 1

解：（1）A（0,4） C（8,0）   （2分）
（2）易得D（3，0），CD=5，    （3分）
設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：
，
解得；
∴y=-x+4；             （4分）
①當(dāng)DE=DC時，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E1（0，4）；     （5分）
②過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G點(diǎn)，
當(dāng)DE=EC時，由DG==，
把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=，
可得E2（，）；                   （6分）
③當(dāng)DC=EC時，如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5，
∴EG=，CG=2，
∴E3（8-2，）；      （7分）
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個：E1（0，4）、E2（，）、E3（8-2，）．（8分）

（3）如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點(diǎn)Q；
設(shè)P（m，-m2+m+4），則Q（m，-m+4）． 
①當(dāng)0＜m＜8時，
PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，
S=S△APQ+S△CPQ=×8×（-m2+2m）=-（m-4）2+16，
∴0＜S≤16； （9分）
②當(dāng)-2≤m＜0時，
PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m，
S=S△CPQ-S△APQ=×8×（m2-2m）=（m-4）2-16，
∴0＜S＜20；                                          （10分）
∴當(dāng)0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；
當(dāng)16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；
當(dāng)S=16時，m=4或m=4-4這兩個．
故當(dāng)S=16時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個．