Question

已知拋物線m：y=ax²+2ax+a-1，頂點(diǎn)為A，若將拋物線m繞著點(diǎn)（1，0）旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線n，頂點(diǎn)為C．
（1）當(dāng)a=1時(shí)．試求拋物線n的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求它的解析式；
（2）在（1）中，請(qǐng)你分別在拋物線m、n上各取一點(diǎn)D、B（除點(diǎn)A、C外），使得四邊形ABCD為平行四邊形（直接寫出所取點(diǎn)的坐標(biāo)，并至少寫出二種情況）；
（3）設(shè)拋物線m的對(duì)稱軸與拋物線n的交點(diǎn)為P，且|AP|=6，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出拋物線n的方程，將a的值代入拋物線方程中，利用頂點(diǎn)公式即可得出C的坐標(biāo)；
（2）欲使四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)即可直接得出D和B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先將拋物線的方程化為頂點(diǎn)式，將A的坐標(biāo)代入，可得出a的值（注意A的值有兩個(gè)）．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，拋物線m的解析式為y=x²+2x，A（-1，-1），
當(dāng)點(diǎn)A（-1，-1）繞著點(diǎn)（1，0）旋轉(zhuǎn)180°后所得點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，1），
根據(jù)題意，可得拋物線n的解析式為y=-（x-3）²+1，
即y=-x²+6x-8；

（2）如：D（-2，0）與B（4，0）或D（0，0）與B（2，0）或D（-3，3）與B（5，-3）．（答案不唯一）

（3）拋物線n的解析式可表示為y=-a（x-3）²+1，
即y=-ax²+6ax-9a+1，
∵A（-1，-1），當(dāng)x=-1時(shí)，y=-a-6a-9a+1=-16a+1，
∴|-1-（-16a+1）|=6，
當(dāng)16a-2=6時(shí)，16a=8，a=

1

2

，
當(dāng)16a-2=-6時(shí)，16a=-4，a=-

1

4

，
∴a=

1

2

或a=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是要得出旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式．