Question

（2013•衢州）如圖，在菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°．順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A₁B₁C₁D₁；順次連結(jié)四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，可得四邊形A₂B₂C₂D₂；順次連結(jié)四邊
形A₂B₂C₂D₂各邊中點，可得四邊形A₃B₃C₃D₃；按此規(guī)律繼續(xù)下去…．則四邊形A₂B₂C₂D₂的周長是

20

；四邊形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周長是

5+5 3

21005

．

Answer 1

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長得出規(guī)律求出即可．

解答：解：∵菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點，
∴△AA₁D₁是等邊三角形，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形，
∴A₁D₁=5，C₁D₁=

1

2

AC=5

3

，A₂B₂=C₂D₂=C₂B₂=A₂D₂=5，
∴四邊形A₂B₂C₂D₂的周長是：5×4=20，
同理可得出：A₃D₃=5×

1

2

，C₃D₃=

1

2

C₁D₁=

1

2

×5

3

，
A₅D₅=5×（

1

2

）²，C₅D₅=

1

2

C₁D₁=（

1

2

）²×5

3

，
…
∴四邊形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周長是：

2(5+5 3 )

21006

=

5+5 3

21005

．
故答案為：20，

5+5 3

21005

．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點四邊形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．