Question

如圖，Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：
①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤S_{四邊形AEDF}=

1

4

AD²，
其中正確結(jié)論是

①②③

（填序號(hào)）

Answer 1

分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，DE=FD；再由全等三角形的性質(zhì)得到BE+CF=AB，由勾股定理求得EF與AB的值，通過比較它們的大小來判定④的正誤；先得出S_{四邊形AEDF}=S_△ADC=

1

2

AD²，從而判定⑤的正誤．

解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，

∠EAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，ED=FD．故①②正確；
又∵△ABD≌△ACD，
∴△BDE≌△ADF．故③正確；
∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，ED=FD，
∴BE+CF=BE+AE=AB=

2

BD，
∵EF=

2

ED，BD＞ED，
∴BE+CF＞EF．故④錯(cuò)誤；
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S_{四邊形AEDF}=S_△ADC=

1

2

AD²．故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確結(jié)論是①②③．
故答案是：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．