Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，在正方形ABCD外有一點(diǎn)E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在圖中是否存在兩個(gè)全等的三角形，若存在請(qǐng)寫出這兩個(gè)三角形并證明；若不存在請(qǐng)說明理由；
（2）若（1）中存在，這兩個(gè)三角形通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合嗎？若重合請(qǐng)說出旋轉(zhuǎn)的過程；若不重合請(qǐng)說明理由；
（3）PB與BE有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．

Answer 1

（1）存在，△CPB≌△AEB．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB；

（2）能重合．△CPB繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°可得到△AEB；

（3）PB⊥BE．
理由如下：由（1）知：△CPB≌△AEB，
∴∠ABE=∠CBP，
∵四邊形ACBD是正方形，
∴∠ABC=90°即∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE；

（4）連接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，PE=

PB2+EB2

=

22+22

=

8

=2

2

，
在Rt△APE中，AE=

AP2+PE2

=

12+( 8 )2

=

9

=3．