Question

某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000元．設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x米，面積為S平方米．
（1）求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)費(fèi)用．
（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)約是多少元？（精確到元）
（參考資料：若矩形的長(zhǎng)為a、寬為b，且滿足a²=b（a+b），則稱這樣的矩形為黃金矩形．≈2.2）

Answer 1

解：設(shè)矩形長(zhǎng)為x，則寬為6-x，
S=x（6-x）=-x²+6x，
則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-x²+6x（0＜x＜6）；

（2）S=-（x-3）²+9，
開(kāi)口向下，故S有最大值，
當(dāng)x=3是S取最大值9，
此時(shí)費(fèi)用最多為9×1000=9000（元），
故當(dāng)矩形的長(zhǎng)為3米，寬為3米時(shí)，費(fèi)用最多為9000元；

（3）由題意得：x²=（6-x）×6，
x²+6x-36=0，
解得：x=3-3或x=-3-3（不合題意，舍去），
此時(shí)寬為9-3，
S=（3-3）（9-3）=36-72=7.2，
1000S=7.2×1000=7200，
可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)7200元．
分析：（1）根據(jù)周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)，求出矩形的寬，繼而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)面積最大時(shí)設(shè)計(jì)費(fèi)用最高，用配方法求出S的最大值，并求最高費(fèi)用即可；
（3）根據(jù)矩形長(zhǎng)為x，則寬為6-x，代入a²=b（a+b），求出長(zhǎng)和寬，然后求出S，繼而可求出設(shè)計(jì)費(fèi)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，由面積公式求出面積與邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式，用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，難度一般．