△OAB是直角三角形,∠AOB=30°,過A作AP⊥OB于P,在AP延長線上取一點C,使∠BOC=30°;過P作PQ⊥OC于P,在PQ延長線上取一點D,使∠COD=30°;…;按此方法操作,最終得到△OMN,此時ON在OA上.若AB=2a,則ON=________.(可用式子表示)

4×( 11a
分析:利用含30度角的直角三角形的性質,正三角形的性質和AB=2a,求得OP的長,然后逆時針旋轉30°后可以求得OQ的長,直至線段ON與線段OA重合,一共旋轉了12次,從而可以求得ON的長.
解答:∵∠A=90°,∠AOB=30°,AB=2a,
∴BO=4a,OC=OA=×4a,
∵OP為等邊三角形的高,且等邊三角形的邊長為×4a,
∴OD=OP=(2×4a,
以此類推,當ON與OA重合時,一共旋轉了12次,
∴ON的長為( 11×4a=4×( 11a.
故答案為:4×( 11a.
點評:本題考查了含30度角的直角三角形的性質和正三角形的性質,解題的關鍵是正確地得到一共旋轉了多少次.
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3
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11a
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.(可用式子表示)

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(-4,3)
,點A''的坐標是
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