Question

如圖，BE、CF分別是△ABC的邊AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB．求證：
（1）AP=AQ；　
（2）AP⊥AQ．

Answer 1

證明：（1）∵AC⊥BE，AB⊥QC，
∴∠BFP=∠CEP=90°，
∴∠BAC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°
∴∠FCA=∠ABP，
在△QAC的△APB中，，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AP=AQ；

（2）∵△QAC≌△APB，
∴∠AQF=∠PAF，
又AB⊥QC，
∴∠QFA=90°，
∴∠FQA+∠FAQ=90°，
∴∠FQA+∠PAF=90°，
即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．
分析：（1）首先證明∠FCA=∠ABP，再加上條件BP=AC，CQ=AB可以證明△QAC≌△APB進(jìn)而得到AP=AQ；
（2）根據(jù)△QAC≌△APB可得∠AQF=∠PAF，再證明∠FQA+∠FAQ=90°可得∠FQA+∠PAF=90°，進(jìn)而得到∠PAQ=90°，即可證出AP⊥AQ．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直，關(guān)鍵是證明△QAC≌△APB，根據(jù)全等可證明角和邊的相等關(guān)系．