Question

如圖，A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的費用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用F。(本題7分)

Answer 1

F=20000×5=100000元

分析：作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最省。
解答：

作點A關于河CD的對稱點A′，連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB。
∵點A與點A′關于CD對稱，
∴OA′=OA，A′C=AC=1，
∴OA+OB=OA′+OB=A′B．
過點A′作A′E⊥BD于E，則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，
∴在Rt△A′BE中，A′B²= A^′E²+BE²=25，
∴A′B=5（千米）
∴20000×5=100000（元）。
點評：要使鋪設管道的費用最省，由于鋪設管道每千米的費用一定，為2000元，即轉化為求鋪設管道的長度最短的值．運用軸對稱的性質，將點A轉化到點A′，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊。