(2003•宜昌)如圖,矩形ABCD是一塊需探明地下資源的土地,E是AB的中點,EF∥AD交CD于點F,探測裝置(設(shè)為點P)從E出發(fā)沿EF前行時,可探測的區(qū)域是以點P為中心,PA為半徑的一個圓(及其內(nèi)部).當(dāng)(探測裝置)P到達(dá)點P處時,⊙P與BC、EF、AD分別交于G、F、H點.
(1)求證:FD=FC;
(2)指出并說明CD與⊙P的位置關(guān)系;
(3)若四邊形ABGH為正方形,且三角形DFH的面積為(2-2)平方千米,當(dāng)(探測裝置)P從點P出發(fā)繼續(xù)前行多少千米到達(dá)點P1處時,A、B、C、D四點恰好在⊙P1上.

【答案】分析:(1)要證明FD=FC,只要證明AD∥EF∥BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,即可求解.
(2)DF與⊙P相切.要證明DF與⊙P相切,只要證明EF過圓心P,OF過半徑PF的外端,就可以求解.
(3)易證HG∥CD,Rt△PMH是等腰直角三角形,根據(jù)S△HDF=HD•DF,就可以求出NE=MF的長.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
又∵AD∥EF,
∴AD∥EF∥BC,
又∵AE=BE,
∴DF=FC.(1分)

(2)解:DF與⊙P相切.
理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,即AD⊥DF,
∵AD∥EF,
∴EF⊥DF;
又∵EF過圓心P,OF過半徑PF的外端,
∴DF切⊙P于點F.(3分)

(3)解:如圖,連接HF,PH,延長FE交⊙P于點N,EF交HG于點M,設(shè)HD=x,DF=y;
∵四邊形ABGH是正方形,
∴AB∥HG,
又∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴HG∥CD;
又∵AD∥EF,
∴HD=MF=xDF=MH=y.
又∵正方形ABGH內(nèi)接于⊙P,
∴NE=MF=x,∠PHM=45°,
∴在RT△PMH中,⊙P半徑PH=HM=y,
∴NF=NE+EP+PM+MF=2x+2y;
又∵NF=αPH=αy,
∴2x+2y=2y.(4分)①
又∵S△HDF=HD•DF=xy=2-2,(5分)②
由①、②可得x=2-2,y=2.(6分)
∴PP1=PF-P1F=PM+MF-P1F=y+x-P1F=y+x-EF=y+x-(y+y+x)=x,
∴PP1=-1(千米).(8分)
答:當(dāng)探查裝置P以P出發(fā)前行(-1)千米到達(dá)P1時,A、B、C、D四點恰好在⊙P1上.
點評:本題主要考查了平行線分線段成比例定理,以及圓的切線的判定方法.
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(1)求證:FD=FC;
(2)指出并說明CD與⊙P的位置關(guān)系;
(3)若四邊形ABGH為正方形,且三角形DFH的面積為(2-2)平方千米,當(dāng)(探測裝置)P從點P出發(fā)繼續(xù)前行多少千米到達(dá)點P1處時,A、B、C、D四點恰好在⊙P1上.

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(1)求證:FD=FC;
(2)指出并說明CD與⊙P的位置關(guān)系;
(3)若四邊形ABGH為正方形,且三角形DFH的面積為(2-2)平方千米,當(dāng)(探測裝置)P從點P出發(fā)繼續(xù)前行多少千米到達(dá)點P1處時,A、B、C、D四點恰好在⊙P1上.

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