Question

如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，

CD

的度數(shù)等于74°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD+∠CAO=

 

°．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：

分析：在等腰△OAC和△OCD中，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的內(nèi)角和求得∠OCD=53°；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得∠OCA=∠ACD=24°；最后由圓周角定理知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠OCA=

1

2

∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，進(jìn)而求得∠ABD+∠CAO=53°．

解答：解：∵圓心角的度數(shù)和它們對(duì)的弧的度數(shù)相等，
∴

CD

的度數(shù)等于74°，即∠COD=74°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半徑），
∴∠OCD=∠ODC（等邊對(duì)等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=53°；
而CA是∠OCD的平分線，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=26.5°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠OCA（等邊對(duì)等角）；
∵∠ABD=

1

2

∠AOD（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），
∠DCA=

1

2

∠AOD（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），
∴∠ABD=∠DCA，
∴∠ABD+∠CAO=53°；
故答案為：53．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系．解答此題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用“圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”求得∠COD=74°．