Question

已知點(diǎn)P（37，27），過(guò)P點(diǎn)的直線交x軸、y軸的正半軸于A、B，則△ABO面積的最小值是（　�。�

• A、2003
• B、2002
• C、2000
• D、1998

Answer 1

分析：首先假設(shè)出直線解析式，再利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積求法得出關(guān)于k的等式，再利用一元二次方程根的判別式求出S的取值范圍，即可得出面積最小值．

解答：解：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P（37，27）的直線方程為y-27=k（x-37），
∴直線與x軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A（37-

27

k

，0），B（0，27-37k），
由已知過(guò)P點(diǎn)的直線交x軸、y軸的正半軸于A、B，
∴k＜0，記△ABO的面積為S，
則S=

1

2

（37-

27

k

）（27-37k），
化簡(jiǎn)得：Sk=

1

2

（37k-27）（27-37k），
∴2Sk=-（37k-27）²，
∴1369k²-（2S-74×27）k+729=0，
上式可以視為關(guān)于k的一元二次方程，
∴△≥0，
∴△=（2S-74×27）²-4×1369×729≥0，
∴（2S-74×27）²≥4×1369×729，
∴2S-74×27≥2×37×27，
∴S≥2×37×27=1998，
∴△ABO面積的最小值是1998，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出關(guān)于k的一元二次方程，進(jìn)而利用根的判別式得出S的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．