【題目】如圖1所示,已知直線y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c分別交于x軸和y軸上同一點,交點分別是點B(6,0)和點C(0,6),且拋物線的對稱軸為直線x=4;
(1)試確定拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是直角三角形?若存在請直接寫出P點坐標,不存在請說明理由;
(3)如圖2,點Q是線段BC上一點,且CQ=,點M是y軸上一個動點,求△AQM的最小周長.
【答案】(1)y=;(2)存在,點P的坐標為(4,﹣2)或(4,10)或(4,3+)或P(4,3﹣);(3)4.
【解析】
(1)求得點A的坐標,根據(jù)拋物線過點A、B、C三點,從而可以求得拋物線的解析式;
(2))△ABP為直角三角形時,分別以三個頂點為直角頂點討論:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理列方程解決問題;
(3)求出點Q的坐標為(),在x軸上取點G(﹣2,0),連接QG交y軸于點M,則此時△AQM的周長最小,求出QG+AQ的值即可得出答案.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B兩點,對稱軸為直線x=4,
∴點A的坐標為(2,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(2,0),B(6,0),C(0,6),
解得a=,b=﹣4,c=6.
∴拋物線的解析式為:y=;
(2)設(shè)P(4,y),
∵B(6,0),C(0,6),
∴BC2=62+62=72,PB2=22+y2,PC2=42+(y﹣6)2,
當(dāng)∠PBC=90°時,BC2+PB2=PC2,
∴72+22+y2=42+(y﹣6)2,
解得:y=﹣2,
∴P(4,﹣2);
當(dāng)∠PCB=90°時,PC2+BC2=PB2,
∴42+(y﹣6)2+72=22+y2,
解得:y=10,
∴P(4,10);
當(dāng)∠BPC=90°時,PC2+PB2=BC2.
∴42+(y﹣6)2+22+y2=72,
解得:y= .
∴P(4,)或P(4,).
綜合以上可得點P的坐標為(4,﹣2)或(4,10)或(4,3+)或P(4,3﹣).
(3)過點Q作QH⊥y軸于點H,
∵B(6,0),C(0,6),
∴OB=6,OC=6,
∴∠OCB=45°,
∴∠CQH=∠HCQ=45°,
∵CQ=,
∴CH=QH=
∴OH=
∴點Q的坐標為(),
在x軸上取點G(﹣2,0),連接QG交y軸于點M,則此時△AQM的周長最小,
∴AQ=
QG=
∴AQ+QG=
∴△AQM的最小周長為4.
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【題目】某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目的喜愛情況(新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲),從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人?
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該校約有1500名學(xué)生,估計全校學(xué)生中喜歡娛樂節(jié)目的有多少人?
(4)該校廣播站需要廣播員,現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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【題目】如圖,是邊長為的等邊三角形,將繞邊的中點逆時針旋轉(zhuǎn),點的運動路徑為,則圖中陰影部分的面積為__________.
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【題目】如圖,先有一張矩形紙片點分別在矩形的邊上,將矩形紙片沿直線MN折疊,使點落在矩形的邊上,記為點,點落在處,連接,交于點,連接.下列結(jié)論:
②四邊形是菱形;
③重合時,;
④的面積的取值范圍是
其中正確的是_____(把正確結(jié)論的序號都填上).
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【題目】如圖,等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,D、E是BC上的兩點,且BD=CE,過D、E作DM、EN分別垂直AB、AC,垂足為M、N,交與點F,連接AD、AE.其中①四邊形AMFN是正方形;②△ABE≌△ACD;③CE2+BD2=DE2;④當(dāng)∠DAE=45°時,AD2=DECD.正確結(jié)論有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,BC是路邊坡角為30°,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°(圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi),CM∥AN).
(1)求燈桿CD的高度;
(2)求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】如圖所示的圖形是一個軸對稱圖形,且每個角都是直角,小明用n個這樣的圖形,按照如圖(2)所示的方法玩拼圖游戲,兩兩相扣,相互間不留空隙.
(1)當(dāng)n=5時,小明拼出來的圖形總長度是 .(用含a、b的式子表示)
(2)當(dāng)a=4,b=3時,小明用n個這樣的圖形拼出來的圖形總長度為28,求n的值.
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【題目】已知菱形在平面直角坐標系的位置如圖所示,頂點,,點是對角線上的一個動點,,,點是對角線上的一個動點,,當(dāng)最短時,點的坐標為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BOC=140°,I是內(nèi)心,O是外心,則∠BIC等于( )
A.130°B.125°C.120°D.115°
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