Question

如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，EC平分∠BED．
（1）試判斷△BEC是否為等腰三角形，請說明理由？
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的長．
（3）在原圖中畫△FCE，使它與△BEC關(guān)于CE的中點O成中心對稱，此時四邊形BCFE是什么特殊平行四邊形，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證∠BEC=∠BCE，從而判定△BCE是等腰三角形．
（2）由（1）知BC=BE，而BC是等腰直角△ABE的斜邊，AB=BE，運用勾股定理可求．
（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知四邊形BCFE是平行四邊形，又BC=BE，得出?BCFE是菱形．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴△BCE是等腰三角形．

（2）∵在Rt△ABE中，∠ABE=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴AB=AE=1．
∴BE=

2

，
∴BC=

2

．

（3）如圖，∵△FCE與△BEC關(guān)于CE的中點O成中心對稱，
∴OB=OF，OE=OC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵BC=BE，
∴四邊形BCFE是菱形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定、性質(zhì)，勾股定理，中心對稱的性質(zhì)以及平行四邊形和菱形的判定，知識點較多，需熟練掌握．