Question

如圖，已知⊙O上有A、B、C三點，D是OB延長線上的點，∠BDC=30°，CD是⊙O的切線，⊙O的半徑為

2

．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）如果AC∥BD，則四邊形ACDB是什么四邊形，并求其周長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由CD是⊙O的切線，可知OC⊥CD，繼而求得∠BOC的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠BAC的度數(shù)；
（2）由AC∥BD，易證得AB∥CD，即可得四邊形ACDB是平行四邊形；然后由直角三角形的性質(zhì)，求得BD與CD的長，繼而求得其周長．

解答：解：（1）連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
即∠OCD=90°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=30°；

（2）四邊形ACDB是平行四邊形，
∵AC∥BD，
∴∠D+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-30°=150°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ACDB是平行四邊形；
在Rt△DOC中，∠OCD=90°，∠BDC=30°，
∴OD=2OC=2

2

，
∴CD=

OD2-OC2

=

6

，BD=OB=

2

，
∴四邊形ACDB的周長為：2（

2

+

6

）=2

2

+2

6

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．