(2009•江津區(qū))如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意可知,將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式,列得方程組即可求得b、c的值,求得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)題意可知,邊AC的長是定值,要想△QAC的周長最小,即是AQ+CQ最小,所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置,找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B,求得直線BC的解析式,求得與對稱軸的交點(diǎn)即是所求;
(3)存在,設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo),將△BCP的面積表示成二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)將A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得
(2分)
(3分)
∴拋物線解析式為:y=-x2-2x+3;(4分)

(2)存在(5分)
理由如下:由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱
∴直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時△AQC周長最小
∵y=-x2-2x+3
∴C的坐標(biāo)為:(0,3)
直線BC解析式為:y=x+3(6分)
Q點(diǎn)坐標(biāo)即為
解得
∴Q(-1,2);(7分)

(3)存在.(8分)
理由如下:設(shè)P點(diǎn)(x,-x2-2x+3)(-3<x<0)
∵S△BPC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-
若S四邊形BPCO有最大值,則S△BPC就最大,
∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC(9分)
=BE•PE+OE(PE+OC)
=(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3)
=
當(dāng)x=-時,S四邊形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=(10分)
當(dāng)x=-時,-x2-2x+3=
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-).(11分)
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,要注意距離最短問題的求解關(guān)鍵是點(diǎn)的確定,還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊,特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求△AOC的面積.

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(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.

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(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求△AOC的面積.

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(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求△AOC的面積.

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