Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求線段AP的長．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接AD、OD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，即DC=DB。
∴OD為△BAC的中位線。∴OD∥AC。
又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。
∴DE是⊙O的切線。
（2）∵OD⊥DE，DE⊥AC，∴四邊形OAED為矩形。
∵OD=OA，∴四邊形OAED為正方形。
∴AE=AO。∴。
（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°。∴∠ABF+∠FAB=90°。
∵∠EAP+∠FAB=90°，∴∠EAP=∠ABF�！鄑an∠EAP=tan∠ABE=。
在Rt△EAP中，AE=2，
∵，∴EP=1。
∴。

試題分析：（1）連接AD、OD，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的直線得DC=DB，所以O(shè)D為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，從而根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)
論。
（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據(jù)正切的定義計算tan∠ABE的值。
（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP。