Question

已知關于x的一元二次方程x²+mx-2m²-x+m=0（m為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x₁、x₂．
（1）若x₁=1，求x₂；
（2）當m取何值時，x₁≠x₂．

Answer 1

解：（1）∵x₁=1，
∴1²+m-2m²-1+m=0，
得m²-m=0，
即m=1，m=0．
①當m=0時，原方程化為x²-x=0，得x₂=0；
②當m=1時，原方程化為x²+x-2×1²-x+1=0，
即x²-1=0，得x₂=-1．
（2）原方程化為x²+（m-1）x-2m²+m=0，
方法一：由一元二次方程根的判別式知：
△=（m-1）²-4×1×（-2m²+m）=m²-2m+1+8m²-4m=9m²-6m+1=（3m-1）²，
要使x₁≠x₂，應△＞0，
即△=（3m-1）²＞0，
解得m≠．
方法二：由x²+（m-1）x-2m²+m=0得x₁=m，x₂=1-2m
要使x₁≠x₂，
即m≠1-2m，
∴m≠．
分析：（1）把x₁的值代入原方程求出關于m的方程中m的值，再把m的值代入原方程求出x₂的值．
（2）根據(jù)根的判別式轉(zhuǎn)化為完全平方式后，求m的取值．
點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．