Question

（2009•梅州）如圖，已知拋物線y=-x²+x+與x軸的兩個交點為A、B，與y軸交于點C．
（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）若坐標(biāo)平面內(nèi)的點M，使得以點M和三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．（直接寫出點的坐標(biāo)，不必寫求解過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0，y=0從而求得點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）利用（1）的結(jié)論即可求得AB，AC，BC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明△ABC為直角三角形；
（3）CD∥AB可得兩個點，AC∥BD也可得到一個．
解答：（1）解：令x=0，得y=，得點C（0，）；
令y=0，得-x²+x+=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）證明：因為AC²=1²+（）²=4，BC²=3²+（）²=12，AB²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：①如圖：當(dāng)CM∥AB時，
∵CM=AB=4，
∴M₁（4，）；
②當(dāng)AM∥BC時，
∵CM=AB=4，
∴M₂（-4，）；
當(dāng)AM∥BC時，
∵直線AC為：y=x+，直線BC為：y=-x+，
∴直線BM為：y=x-3，直線AM為：y=-x-，
∴M₃（2，-）．
∴M₁（4，），M₂（-4，），M₃（2，-）．（只寫出一個給（1分），寫出2個，得1.5分）
點評：此題綜合考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，直角三角形的判定，平行四邊形的判定等知識點．