Question

（2010•連云港）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．
（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有______；
（2）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S_梯形ABCD=S_△ADE．請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S_△ADC＞S_△ABC，過點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線；
（2）根據(jù)等底等高可得S_△ABC=S_△AEC，即可證明S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；過點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線的畫法，可以先作DE的垂直平分線，找到DE的中點(diǎn)G，再連接AG即可；
（3）能，連接AC，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，證明可仿照（2）進(jìn)行．
解答：解：（1）中線所在的直線；（2分）

（2）方法一：連接BE，因?yàn)锳B∥CE，AB=CE，所以四邊形ABEC為平行四邊形，
所以BE∥AC（3分），
所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（5分）
方法二：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F．
因?yàn)锳B∥CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又因?yàn)锳B=CE，
所以△ABF≌△ECF，（4分）
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（5分）
過點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖所示：作DE的垂直平分線，交DE于G，連接AG．則AG是梯形ABCD的面積等分線；


（3）能，連接AC，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．
因?yàn)锽E∥AC，所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（8分）
因?yàn)镾_△ACD＞S_△ABC，
所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線，作圖如下：
（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想．