Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上運(yùn)動，并保持∠ADE=45°
（1）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長；
（2）當(dāng)BD=

2

2

時(shí)，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）分三種情況，討論解答：①當(dāng)AE=AD時(shí)，②當(dāng)AE=DE時(shí)，③當(dāng)AD=DE時(shí)；①②易求得，③通過證明△ABD≌△DCE，得AB=DC，BD=CE，即可求出；
（2）如圖，通過證明△ABD∽△DCE，可得到

DE

AD

=

DC

AB

，即DE=

DC

AB

×AD，在Rt△AMD中，可通過勾股定理，求得DC的長，即可解答出；

解答：解：（1）①當(dāng)AE=AD時(shí)，△ADE是等腰三角形，
此時(shí)，點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)C、B重合，
∴AE=AC=2；
②當(dāng)AE=DE時(shí)，△ADE是等腰三角形，
此時(shí)，∠EAD=∠ADE=45°，由題設(shè)知，此時(shí)點(diǎn)D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AC=1；
③當(dāng)AD=DE時(shí)，△ADE是等腰三角形，
此時(shí)由題設(shè)知∠B=∠C=45°，
∵AB=AC=2，BC=2

2

，
而∠BAD+∠B=∠ADC=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2，CE=BD=BC-DC=2

2

-2，
∴AE=AC-CE=2-[2

2

-2]=4-2

2

．

（2）取BC的中點(diǎn)M，連接AM，
易求得AM=

2

，BM=

2

，∠AMB=90°，
∵BD=

2

2

，
∴DM=BM-BD=

2

-

2

2

=

2

2

，
DC=BC-BD=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
∴在Rt△AMD中，AD=

DM2+AM2

=

10

2

，
由（1）的第三種情況已證∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

DE

AD

=

DC

AB

，
∴DE=

DC

AB

×AD=

3 2

2

×

1

2

×

10

2

=

3 5

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，本題根據(jù)題意，確定動點(diǎn)D、E的位置，是解答的關(guān)鍵．