Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N．

（1）求證：△BMD∽△CNE；

（2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？

（3）設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；解直角三角形。

專題：代數(shù)幾何綜合題。

分析：（1）由AB=AC，∠B=30°，根據(jù)等邊對等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；

（2）首先過點M作MH⊥BC，設(shè)BD=x，由以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函數(shù)，即可求得答案；

（3）首先求得△ABC的面積，繼而求得△BDM的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得△BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=∠FED=60°，[來源:學科網(wǎng)]

∴∠MDB=∠NEC=120°，

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，

∴△BMD∽△CNE；

（2）過點M作MH⊥BC，

∵以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，

∴MH=MF，

設(shè)BD=x，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=60°，

∵∠B=30°，

∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，

∴DM=BD=x，

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，[來源:Z。xx。k.Com]

解得：x=16﹣8，

∴當BD=16﹣8時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；

（3）過點M作MH⊥BC于H，過點A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，

∴BK=BC=×8=4，

∵∠B=30°，

∴AK=BK•tan∠B=4×=，

∴S_△ABC=BC•AK=×8×=，

由（2）得：MD=BD=x，

∴MH=MD•sin∠MDH=x，

∴S_△BDM=•x•x=x²，

∵△DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，

∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，

∵△BMD∽△CNE，

∴S_△BDM：S_△CEN=（）²=，

∴S_△CEN=（4﹣x）²，

∴y=S_△ABC﹣S_△CEN﹣S_△BDM=﹣x²﹣（4﹣x）²=﹣x²+2x+=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4），

當x=2時，y有最大值，最大值為．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．