Question

如圖，AD是⊙O的直徑，過(guò)⊙O上一點(diǎn)E作直線l，交AD的延長(zhǎng)線如點(diǎn)B，AC⊥l于點(diǎn)C，AC交⊙O于點(diǎn)G，E為的中點(diǎn)．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AC+GC=5，⊙O的半徑為r，求代數(shù)式+的值．

Answer 1

（1）證明：連接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直徑，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E為的中點(diǎn)，∴=，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵OE∥AC，OD=OA，
∴OF三角形AGD的中位線，
∴OF=r-EF=（AC-CG）=（AC+GC-2GC）=×5-GC=-GC，
則r=．
把r=代入代數(shù)式+得：
+=4，
所以代數(shù)式+的值為4．
分析：（1）連接OE，OE=OA，則得∠OEA=∠OAE，又由，E為的中點(diǎn)，推出=，所以∠GAE=∠OAE，則∠OEA=∠GAE，所以O(shè)E∥AC，因此OE⊥BC，從而證得BC是⊙O的切線；
（2）由（1）證得OE∥AC，OD=OA，所以O(shè)F是三角形ADG的中位線，所以可求出r，從而求出代數(shù)式+的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵（1）是先由半徑的等腰三角形得角相等，等弧的圓周角相等，得OE∥AC，即得AC⊥BC，從而得證；（2）關(guān)鍵是先證得OF是三角形AGD的中位線，從而求出半徑r．