Question

（2005•南通）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB沿AB翻折得到△PAB．將四邊形OAPB先向下平移3個(gè)單位長度，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，得到四邊形O₁A₁P₁B₁．設(shè)四邊形O₁A₁P₁B₁與四邊形OAPB重疊部分圖形的周長為l．
（1）求A₁、P₁兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）求周長L與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先應(yīng)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求得OB的長，發(fā)現(xiàn)OB=OA，再結(jié)合折疊，即四條邊都相等的四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．再根據(jù)平移和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系：左減右加，由點(diǎn)A，P的坐標(biāo)求得點(diǎn)A₁、P₁兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于向右移的單位長度不確定，所以此題應(yīng)分情況考慮．根據(jù)勾股定理可以求得當(dāng)向下平移3個(gè)單位長度時(shí)，P₁到AP的距離是4，P₁到y(tǒng)軸的距離是14，所以分為當(dāng)0＜m≤4時(shí)和當(dāng)4＜m＜14時(shí)兩種情況，結(jié)合平行線分線段成比例定理和平移的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（1）過點(diǎn)B作BQ⊥OA于點(diǎn)Q，（如圖1）
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（-10，0）
∴點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（-10+m，-3），OA=10
又∵點(diǎn)B坐標(biāo)是（-8，6）
∴BQ=6，OQ=8
在Rt△OQB中，OB=
∴OA=OB=10，tanα=
由翻折的性質(zhì)可知，PA=OA=10，PB=OB=10
∴四邊形OAPB是菱形
∴PB∥AO
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-18，6）
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（-18+m，3）；

（2）①當(dāng)0＜m≤4時(shí)，（如圖2），過點(diǎn)B₁作B₁Q₁⊥x軸于點(diǎn)Q₁，則B₁Q₁=6-3=3
設(shè)O₁B₁交x軸于點(diǎn)F
∵O₁B₁∥BO
∴∠α=∠β
在Rt△FQ₁B₁中，tanβ=
∴
∴Q₁F=4
∴B₁F==5
∵AQ=OA-OQ=10-8=2
∴AF=AQ+QQ₁+Q₁F=2+m+4=6+m
∴周長l=2（B₁F+AF）
=2（5+6+m）
=2m+22；
②當(dāng)4＜m＜14時(shí)，（如圖3）
設(shè)P₁A₁交x軸于點(diǎn)S，P₁B₁交OB于點(diǎn)H
由平移性質(zhì)，得OH=B₁F=5
此時(shí)AS=m-4
∴OS=OA-AS
=10-（m-4）=14-m
∴周長L=2（OH+OS）
=2（5+14-m）
=-2m+38．
（說明：其他解法可參照給分）
點(diǎn)評(píng)：此題首先能夠正確畫出平移后的圖形，綜合運(yùn)用勾股定理、平移的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理進(jìn)行計(jì)算．