Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=30°，D為BC的中點(diǎn)，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn)，過A作DF的垂線交DF的延長線于點(diǎn)E．
（1）試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系；
（2）若斜邊BC=12，求AC•AF的值．

Answer 1

解：（1）AE與⊙O相切．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD為等邊三角形．
∴O點(diǎn)是△ABD的中心．
連接OA、OB，∠BAO=∠OAD=30°，∠OAC=60°．
又四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，∠BAC=90°，
∴BF是⊙O的直徑，即B、O、F三點(diǎn)共線，
∴∠BDF=∠FDC=∠BAC=90°．
∵AE⊥DE，
∴AE∥BC．
∴∠EAF=∠C=30°．
∴∠OAE=90°．
∴AE是⊙O的切線；

（2）由（1）知：△ABD為等邊三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，
∴∠FAD=∠DAC，
∴△ADF∽△ACD，
∴．
∴AD²=AC•AF．
又AD=BC=6，
∴AC•AF=36．
分析：（1）根據(jù)條件判斷三角形ABD為等邊三角形，進(jìn)而判斷BF為四邊形外接圓的直徑，在判斷AE∥BC，從而得到結(jié)論．
（2）由（1）得到ABD為等邊三角形，有以上關(guān)系求得△ADF與△ACD相似，得到關(guān)系而求得．
點(diǎn)評：本題考查切線的判定和性質(zhì)，（1）從判定等邊三角形ABD到AE⊥DE，再到AE∥BC，而得到結(jié)論．（2）由（1）知三角形ABD為等邊三角形，判斷三角形ADF與三角形ACD相似，得到關(guān)系式而求得．