Question

已知：△ABC中，∠A=64°，角平分線BP、CP相交于點P．

①若BP、CP是兩內(nèi)角的平分線，則∠BPC=________ （直接填數(shù)值），求證：∠BPC=90°+∠A；
②若BP、CP是兩外角的平分線，則∠BPC=________ （直接填數(shù)值）；
③若BP、CP是一內(nèi)角的平分線，一外角的平分線，則∠BPC=________（直接填數(shù)值）；
④由①②③的數(shù)值計算可知：∠BPC與∠A有著密切的數(shù)量關(guān)系，請就第②③寫出你的發(fā)現(xiàn)．

Answer 1

122°    58°    32°
分析：①根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，∠BPC+∠PCB=90°-∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°+∠A；
②根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°-∠A；
③根據(jù)BP為∠ABC的角平分線，CP為△ABC外角∠ACE的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠P=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），兩式聯(lián)立可得2∠P=∠A．
④根據(jù)前面的情況直接寫出∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系，
解答：證明：①∵在△ABC中，PB、PC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠A）=×（180°-x°）=90°-∠A
故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A；
則∠BPC=122°；
②∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
則∠BPC=58°；
③如圖：∵BP為∠ABC的角平分線，CP為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點P，
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠P=∠A．
則∠BPC=32°；
④若BP、CP是兩外角的平分線，則∠BPC=90°-∠A；
若BP、CP是一內(nèi)角的平分線，一外角的平分線，則∠BPC=∠A．
故答案為：122°；58°；32°．
點評：此類題目考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)階段的常規(guī)題．