Question

如圖，△BEF的內角∠EBF平分線BD與外角∠AEF的平分線交于點D，過D作DH∥BC分別交EF、EB于G、H兩點．下列結論：①S_△EBD：S_△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正確結論的個數(shù)有（　　）

• A、只有①②③
• B、只有①②④
• C、只有③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①根據(jù)三角形的面積公式S=

1

2

ab•sinC可直接得出答案；
②根據(jù)角平分線的性質解答即可；
③根據(jù)平行線的性質和角平分線的性質，判斷出∠HBD=∠HDB，根據(jù)等角對等邊即可證出HB=HD，但根據(jù)現(xiàn)有條件不能的出HF與HB必然相等的結論；
④根據(jù)三角形角分線的性質，判斷D為旁心，進而得出∠CFD=∠EFD，再根據(jù)平行線的性質，得出∠HDF=∠CFD，從而判斷出∠GDF=∠DFE，于是可得，HB=HD，再通過等量代換和線段的加減法則即可得出結論．

解答：解：①正確．
因為S_△EBD=

1

2

BD•BE•sin∠EBD，S_△FBD=

1

2

BD•BF•sin∠DBF，
所以S_△EBD：S_△FBD=

1

2

BD•BE•sin∠EBD：

1

2

BD•BF•sin∠DBF，
因為BD是∠EBC的平分線，
所以sin∠EBD=sin∠DBF，
所以S_△EBD：S_△FBD=BE：BF；
②正確．
過D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，
∵DE是∠AEF的平分線，
∴AD-DO，
∵DB是∠ABC的平分線，
∴DA=DN，
∴DO=DN，
∴DF是∠EFC的平分線，
∴∠EFD=∠CFD；
③錯誤．
因為HD∥BF，
所以∠HDB=∠FBD，
又因為BD平分∠ABC，
所以∠HBD=∠CBD，
于是∠HBD=∠HDB，
故HB=HD．
但沒有條件說明HF與HB必然相等；
④正確．
由于點D為△BEF的內角∠EBF平分線BD與外角∠AEF的平分線的交點，
故D為△BEF的旁心，
于是FD為∠EFC的平分線，
故∠CFD=∠EFD，
又因為DH∥BC，
所以∠HDF=∠CFD，
故∠GDF=∠DFE，
于是GF=GD，
又因為HB=HD，
所以HD-GD=HG，
即BH-GF=HG．
故①②④正確．
故選B．

點評：本題比較復雜，涉及到三角形的內角、外角平分線，三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．