(2012•南通)如圖,經(jīng)過點A(0,-4)的拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點,O為坐標原點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線y=
1
2
x2+bx+c向上平移
7
2
個單位長度,再向左平移m(m>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點P在△ABC內,求m的取值范圍;
(3)設點M在y軸上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的長.
分析:(1)該拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù),只需將A、B兩點坐標代入即可得解.
(2)首先根據(jù)平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式,進而用m表示出該函數(shù)的頂點坐標,將其代入直線AB、AC的解析式中,即可確定P在△ABC內時m的取值范圍.
(3)先在OA上取點N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,顯然在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點;以y軸正半軸上的點M為例,先證△ABN、△AMB相似,然后通過相關比例線段求出AM的長.
解答:解:(1)將A(0,-4)、B(-2,0)代入拋物線y=
1
2
x2+bx+c中,得:
0+c=-4
1
2
×4-2b+c=0
,
解得:
b=-1
c=-4

故拋物線的解析式:y=
1
2
x2-x-4.

(2)由題意,新拋物線的解析式可表示為:y=
1
2
(x+m)2-(x+m)-4+
7
2
,即:y=
1
2
x2+(m-1)x+
1
2
m2-m-
1
2
;
它的頂點坐標P:(1-m,-1);
由(1)的拋物線解析式可得:C(4,0);
設直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0),把x=4,y=0代入,
∴4k+b=0,b=-4,
∴y=x-4.
同理直線AB:y=-2x-4;
當點P在直線AB上時,-2(1-m)-4=-1,解得:m=
5
2
;
當點P在直線AC上時,(1-m)-4=-1,解得:m=-2;
∴當點P在△ABC內時,-2<m<
5
2
;
又∵m>0,
∴符合條件的m的取值范圍:0<m<
5
2


(3)由A(0,-4)、C(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如圖,在OA上取ON=OB=2,則∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠NBA=∠OMB;
如圖,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;
易得:AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
綜上,AM的長為10或2.
點評:考查了二次函數(shù)綜合題,該函數(shù)綜合題的難度較大,(3)題注意分類討論,通過構建相似三角形是打開思路的關鍵所在.
練習冊系列答案
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(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)設點M在AC上,四邊形PQCM為平行四邊形.
①若a=
52
,求PQ的長;
②是否存在實數(shù)a,使得點P在∠ACB的平分線上?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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2
2
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23
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