Question

如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為

5

個(gè)單位長度．點(diǎn)P為直線y=-x+4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD．
（1）寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A

（4，0）

，B

（0，4）

；
（2）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（3）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖乙，若直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3，請(qǐng)直接寫出b的值：b=

5

或-

5

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式來求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）四邊形OCPD是正方形．如圖甲，連接OC、OD．根據(jù)切線的性質(zhì)和已知條件得知四邊形OCPD的三個(gè)內(nèi)角是90度，則該四邊形是矩形．又由OC=OD，所以四邊形OCPD是正方形；
（3）過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OD、OP．根據(jù)切線的性質(zhì)及PC⊥PD，得出∠OPD=∠OPC=45°，進(jìn)而證明△OPD是等腰直角三角形，求出OP的長．再設(shè)P（m，-m+4），然后△OPF中運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于m的方程，解方程即可．
（4）如圖乙，需要分兩種情況進(jìn)行討論：根據(jù)已知條件“直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3”可知∠AOB=90°，故易求b的值．

解答：解：（1）如圖甲，∵直線的解析式為y=-x+4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=4；當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即A（4，0），B（0，4）；
故答案是：（4，0），（0，4）；

（2）四邊形OCPD是正方形．證明過程如下：
如圖甲，連接OC、OD．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，
∴四邊形OCPD是矩形．
又∵OC=OD，
∴四邊形OCPD是正方形；

（3）如圖甲，過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OP．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=

5

，OP=

10

∵P在直線y=-x+4上，設(shè)P（m，-m+4），則OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

10

）²，
解得m=1或3，
∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）；

（4）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1：3，可知被割得的弦所對(duì)的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標(biāo)軸的夾角為45°，如圖可知，分兩種情況，所以，b的值為

5

或-

5

．
故答案是：

5

或-

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合應(yīng)用；有函數(shù)參與的幾何題往往要找出等量關(guān)系后利用函數(shù)的解析式列方程進(jìn)行解答，這種數(shù)形結(jié)合的思想非常重要，要認(rèn)真掌握．