Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點(diǎn)P是腰AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求BC的長(zhǎng)．
（2）如圖1，如果點(diǎn)M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

分析：（1）先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，DF⊥BC，根據(jù)AB=12，∠B=60°，得出AE的值，同理得出FC的值，即可求出BC的值；
（2）先作△PBM的高PG，根據(jù)等腰梯形ABCD的面積的值和PM平分梯形ABCD的面積，求出S_△PBM的值，即可求出PG的值，再根據(jù)正弦定理即可求出PB的值；
（3）根據(jù)（2）所求出的值，求出梯形ABCD的周長(zhǎng)，再根據(jù)PB和BM的值來(lái)進(jìn)行判斷，正好符合題意，得出結(jié)論存在符合題意的直線PM．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=

AE

12

，
∴AE=6

3

，
∴BE=6，同理可證：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，
∵等腰梯形ABCD的面積是：

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（4+16）×6

3

=60

3

∵PM平分梯形ABCD的面積，
∴S_△PBM=30

3

，
∵BM=12，
∴PG=5

3

，
∵∠B=60°，
∴PB=

5 3

sin60°

，
∴PB=10；

（3）當(dāng)M在BC上時(shí)，梯形ABCD的周長(zhǎng)是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12時(shí)PB+BM=22（符合題意），
PB=12，BM=10時(shí) PB+BM=22（符合題意），
當(dāng)M在DC上時(shí)（舍去），
當(dāng)M在AD上（舍去），
則存在符合題意的直線PM．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì)及三角形的面積的掌握情況．難度適中，解題關(guān)鍵是掌握三角形的面積公式和等腰梯形的周長(zhǎng)．