Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為2，若直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點(diǎn)C（n，-

3

2

）．
（1）反比例函數(shù)的解析式為

y=-

4

x

，m=

2

，n=

8

3

；
（2）求直線AC的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)式比例系數(shù)k的意義即可求得k的值，然后把A，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得m，n的值；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）存在點(diǎn)P使△PAO為等腰三角形，分O點(diǎn)、A點(diǎn)和P點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理以及垂直平分線的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵Rt△AOB面積為2，
∴|k|=4，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=-

4

x

；
把A（-2，m）代入y=-

4

x

得，m=-

4

-2

=2；
把C（n，-

3

2

）代入y=

4

x

得：-

3

2

=-

4

n

，解得：n=

8

3

；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（

8

3

，-

3

2

）
∵直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B
∴

-2a+b=2 8 3 a+b=- 3 2

解得

a=- 3 4 b= 1 2

∴直線AC的解析式y(tǒng)=-

3

4

x+

1

2

．

（3）答：存在點(diǎn)P使△PAO為等腰三角形；
∵點(diǎn)A（-2，2），AB=|2|=2，
∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA=

AB2+OB2

=

22+22

=2

2

．
①以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₁、P₂，P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

）．（如圖1）
②以點(diǎn)A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₃、另一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)O重合．由勾股定理算得P₃（0，4）．（如圖1）
③作OA的垂直平分線l交y軸于P₄，如圖2，
∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P₄OA=45°
∵直線l是OA的垂直平分線，∴∠P₄KO=90°，OK=

1

2

OA．
∴∠KP₄O=45°，OK=

1

2

×2

2

=

2

，∠P₄OA=∠KP₄O，OK=KP₄=

2

．
∴由勾股定理求得OP₄=2．點(diǎn)P₄（0，2）．
綜上可知：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

），P₃（0，4），P₄（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．要注意（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．