Question

【題目】已知：如圖，Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB中點(diǎn)．

（1）若兩個直角三角形的直角頂點(diǎn)在AB的異側(cè)（如圖1），連接CD，取CD中點(diǎn)F，連接EF、DE、CE，則DE與CE數(shù)量關(guān)系為 ，EF與CD位置關(guān)系為 ；

（2）若兩個直角三角形的直角頂點(diǎn)在AB的同側(cè)（如圖2），連接CD、DE、CE．

①若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判斷△DEC的形狀，并說明理由；

②若∠CAB+∠DBA＝，當(dāng)為多少度時，△DEC為等腰直角三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①等邊三角形，見解析；②45°，理由見解析；

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半即可得到DE=CE，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可得到EF⊥CD；

（2）①先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到△DEC是等腰三角形，再利用外角的性質(zhì)得到，，根據(jù)平角的定義求出∠DEC，即可得到結(jié)論；

②由①得，DE=EC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出答案.

（1）DE=CE，EF⊥CD，

∵△ABD和△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB中點(diǎn)，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE，

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),

∴EF⊥CD；

（2）①△DEC等邊三角形，

在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB中點(diǎn)，

∴，

∴△DEC是等腰三角形，

∵， ，

且∠DEA、∠CEB分別是△DEB、△AEC的外角，

∴，

，

∴，

∴△DEC是等邊三角形；

②由①得DE=EC,

，

∵△DEC是等腰直角三角形， ，

∴，

∴，

∴當(dāng)為45度時，△DEC為等腰直角三角形.