Question

（2002•包頭）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥CD，BC⊥CD，且AD+BC=AB
（1）求證：⊙O與CD相切；
（2）若CD=3，求AD•BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OE⊥CD，E為垂足．證明AD∥OE∥BC，運(yùn)用平行線間的線段對應(yīng)成比例得出OE與⊙O的半徑的關(guān)系，得出結(jié)論．
（2）連接BE、AE，證明Rt△ADE∽Rt△ECB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD•BC的比值．
解答：（1）證明：過O作OE⊥CD，E為垂足；
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC；
∴O為AB中點(diǎn)；
∴OE為OE=0.5（AD+BC），AB=AD+BC；
∴OE=0.5AB，OE⊥CD；
∴CD與⊙O相切．

（2）解：連接BE、AE，則∠AEB=90°；
∴∠AED+∠BEC=90°；
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠BEC=∠DAE；
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECB；
∴AD：DE=EC：BC；
∴AD•BC=DE•EC=．
點(diǎn)評：此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．要注意過切點(diǎn)的半徑與構(gòu)造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．