Question

如圖，已知△A₁B₁C₁的面積為1，連接△A₁B₁C₁三邊中點得到第二個△A₂B₂C₂，再順次連接△A₂B₂C₂三邊中點得△A₃B₃C₃，照此下去可得第2009個三角形，則第2009個三角形的面積是

 

．

Answer 1

分析：由A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和有三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，所以S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，得到即S_△A2B2C2，=

1

4

，
同理可得S_△A3B3C3=

1

4

×

1

4

=（

1

4

）²，即可得到第2009個三角形的面積．

解答：解：∵A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，
∴S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，
即S_△A2B2C2=

1

4

，
∴S_△A3B3C3=

1

4

×

1

4

=（

1

4

）²，
∴第2009個三角形的面積是（

1

4

）²⁰⁰⁸．
故答案為：（

1

4

）²⁰⁰⁸．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．