Question

如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=

5

．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為

2

；④S_△APD+S_△APB=1+

6

；⑤S_{正方形ABCD}=4+

6

．其中正確結(jié)論的序號是

①②⑤

．

Answer 1

分析：①首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE過點B作BM⊥AE延長線于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，可以得出∠PEB=90°就可以得出②正確，
③所以△EMB是等腰Rt△，故B到直線AE距離為BF=

6

2

，故③是錯誤的；
④由△APD≌△AEB，可知S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB，然后利用已知條件計算即可判定；
⑤連接BD，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△BPD=

1

2

PD×BE=

3

2

，所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+

6

2

，由此即可判定．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=90°．
∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，
∴∠BAD=∠EAP，
∴∠BAD-∠BAP=∠EAP-∠BAP，
即∠DAP=∠BAE．
∵在△APD和△AEB中，

AD=AB ∠DAP=∠BAE AP=AE

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；
∴∠AEB=∠APD，
∵∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=135°，
∴∠BEP=90°，
∴EB⊥ED，故②正確．
過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，則BF的長是點B到直線AE的距離，
在Rt△AEP中，由勾股定理得PE=

2

，
在Rt△BEP中，PB=

5

，PE=

2

，由勾股定理得：BE=

3

，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在Rt△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=

6

2

，故③是錯誤的；
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=

3

，
∴S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_△AEP+S_△BEP=

1

2

+

6

2

，因此④是錯誤的；
連接BD，則S_△BPD=

1

2

PD×BE=

3

2

，
所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+

6

2

，
所以S_{正方形ABCD}=2S_△ABD=4+

6

．故⑤正確；
綜上可知，正確的有①②⑤．
故答案為：①②⑤．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理的運用，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識才能很好解決問題．