Question

已知在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠ABC=90°，AD=3，BC=3

3

，BD=7
（1）求AB的長；（2）求CD的長．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥AB，交BA的延長線于點E，根據(jù)∠BAD=120°求出∠EAD=60°，然后求出∠EDA=30°，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長度，再利用勾股定理求出DE的長度，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BE的長度，然后根據(jù)AB=BE-AE計算即可；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，先判定四邊形BEDF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得BF的長度，再根據(jù)BC的長度求出CF的長度，可得BF=CF，根據(jù)“邊角邊”證明△BDF和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CD=BD，從而得解．

解答：解：（1）如圖，過點D作DE⊥AB，交BA的延長線于點E，
∵∠A=120°，
∴∠EAD=60°，
∴∠EDA=90°-60°=30°，
∵AD=3，
∴AE=

1

2

AD=

3

2

，
在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=

32-( 3 2 )2

=

3

2

3

，
在Rt△BDE中，BE=

BD2-DE2

=

72-( 3 2 3 )2

=

13

2

，
所以，AB=BE-AE=

13

2

-

3

2

=5；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，
∵DE⊥AB，∠ABC=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴BF=DE=

3

2

3

，
∵BC=3

3

，
∴CF=BC-BF=3

3

-

3

2

3

=

3

2

3

，
∴BF=CF，
在△BDF和△CDF中，

BF=CF ∠BFD=∠CFD DF=DF

，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴CD=BD，
∵BD=7，
∴CD=7．

點評：本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是利用勾股定理求解的關鍵，還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．