已知 關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當Rt△ABC的斜邊長a=數(shù)學公式，且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時，求△ABC的周長．

解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）2-4（4k-3）=4k2-12k+13=4+4＞0恒成立，
故無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）根據(jù)勾股定理得：b2+c2=a2=31①
因為兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根，
則b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因為（b+c）2-2bc=b2+c2=31，
即（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得：4k2+4k+1-8k+6-31=0，即k2-k-6=0，
解得：k1=3或k2=-2（舍去），
則b+c=2k+1=7，
又因為a=，
則△ABC的周長=a+b+c=+7．
分析：（1）根據(jù)△＞0即可證明無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)勾股定理及根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及勾股定理，難度較大，關(guān)鍵是巧妙運用△＞0恒成立證明（1），再根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組進行解答．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的一元二次x2+（2k-3）x+k2=0的兩個實數(shù)根x1，x2且x1+x2=x1x2，求k的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的一元二次2x2-（2m2-1）x-m-4=0有一個實數(shù)根為
32
．
（1）求m的值；
（2）求已知方程所有不同的可能根的平方和．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的一元二次x2-6x+k+1=0的兩個實數(shù)根x1，x2，
1
x1
+
1
x2
=1，則k的值是（　�。�
A、8B、-7C、6D、5

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

先閱讀下面文字：
一般的，對于關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0（p，g為常數(shù)，P2-4q≥O）的兩根為x1=
-p+
p2-4q
2
、x2=
-p-
p2-4q
2
，則x1+x2=-p，x1×x2=q．
用這個結(jié)論可以解決有關(guān)問題，例如：已知關(guān)于x的一元二方程x2+3x+1=0的兩根為x1、x2，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．
解：∵x1、x2是方程x2+3x+1=0的兩根，∴x1+x2=-3，x1×x2=1，∴
x
2
1
+
x
2
2
=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=7．
請解決下面的問題：
（1）已知一元二次方程x2-3x-7=0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為
3
3

A、-3    B、3    C、-7D、7
（2）已知x1、x2是方程x2-2x-1=0的兩根，試求（x1-2）（x2-2）的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011年中考數(shù)學復習模擬試卷（07）（解析版） 題型：解答題

（2002•浙江）已知關(guān)于x的一元二次x2+（2k-3）x+k2=0的兩個實數(shù)根x1，x2且x1+x2=x1x2，求k的值．

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