Question

已知：如圖，⊙O和⊙O₁內(nèi)切于A，直線OO₁交⊙O于另一點(diǎn)B、交⊙O₁于另一點(diǎn)F，過B點(diǎn)作⊙O₁的切線，切點(diǎn)為D，交⊙O于C點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．
求證：（1）CD=DE；
（2）若將兩圓內(nèi)切改為外切，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論．
（3）在（1）條件下，若BD=4，BF=2，連AC，求DE與AC的長．

Answer 1

證明：（1）連接DF、AD；
∵AF為⊙O₁的直徑，
∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC為⊙O₁的切線，
∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA；
連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD=DE．

（2）當(dāng)兩圓外切時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論仍成立，證法同（1）．

（3）∵BC為⊙O₁的切線，
∴BD²=BF×AB，
∴16=2AB，
∴AB=8，AF=6，
∵△BDE∽△BAC，
∴==，
∴設(shè)DE=x，AC=2x，
∵DE²=EF×AE，
∴x²=（6-2x）×2x，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=2.4，
∴DE=2.4，AC=4.8．
分析：（1）要證明CD=DE，可以把它們構(gòu)造到兩個(gè)全等三角形中三角形ADE和三角形ACD中，根據(jù)圓周角定理的推論和弦切角定理以及等角的余角相等證明∠ADE=∠ADC．再結(jié)合直角和公共邊證明兩個(gè)三角形全等．
（2）根據(jù)圓周角定理的推論和弦切角定理以及等角的余角相等證明∠ADE=∠ADC，進(jìn)而求出即可；
（3）首先利用切割線定理得出BD²=BF×AB，求出AB的長，進(jìn)而利用三角形相似求出即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理的推論、弦切角定理、等角的余角相等等知識，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．在解決一題多變的時(shí)候，思路基本相似是解決問題的關(guān)鍵．