【題目】將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置,BD為重合的對角線.重疊部分為四邊形DHBG,
(1)試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形,并說明理由;
(2)若AB=8,AD=4,求四邊形DHBG的面積.
【答案】
(1)解:四邊形DHBG是菱形.理由如下:
∵四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形,
∴∠A=∠E=90°,AD=ED,AB=EB.
在△DAB和△DEB中, ,
∴△DAB≌△DEB(SAS),
∴∠ABD=∠EBD.
∵AB∥CD,DF∥BE,
∴四邊形DHBG是平行四邊形,∠HDB=∠EBD,
∴∠HDB=∠HBD,
∴DH=BH,
∴DHBG是菱形
(2)解:由(1),設(shè)DH=BH=x,則AH=8﹣x,
在Rt△ADH中,AD2+AH2=DH2,即42+(8﹣x)2=x2,
解得:x=5,即BH=5,
∴菱形DHBG的面積為HBAD=5×4=20
【解析】(1)由四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形,可得出△DAB≌△DEB(SAS),進(jìn)而可得出∠ABD=∠EBD,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD、DF∥BE,即四邊形DHBG是平行四邊形,再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合∠ABD=∠EBD,即可得出∠HDB=∠HBD,由等角對等邊可得出DH=BH,由此即可證出DHBG是菱形;(2)設(shè)DH=BH=x,則AH=8﹣x,在Rt△ADH中,利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,再根據(jù)菱形的面積公式即可求出菱形DHBG的面積.
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