Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-2x-m=0
①已知1+是方程的一個(gè)根，求它的另一根及m的值
②判斷命題：“若m≤2，則方程x²-2x-m=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的真假，如果是真命題請(qǐng)給出證明；如果是假命題請(qǐng)舉出一個(gè)反例說明

Answer 1

【答案】分析：①由兩根之和可以求出方程的另一個(gè)根，由兩根之積可以求出m的值．②用一元二次方程根的判別式證明命題的真假，然后用具體的數(shù)字說明．
解答：解：①設(shè)方程的另一個(gè)根為x₁，則：
x₁+1+=2，
∴x₁=1-．
x₁•（1+）=-m，
（1-）（1+）=-2=-m，
∴m=2．
故另一個(gè)根是：1-，m=2．

②△=4+4m＞0，
m＞-1．
∴當(dāng)m＞-1時(shí)，方程總有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
故命題“若m≤2，則方程x²-2x-m=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題．
如當(dāng)m=-2時(shí)，方程為x²-2x+2=0，此時(shí)△=4-8=-4＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，①由兩根之和可以求出方程的另一個(gè)根，兩根之積可以求出m的值．②用判別式可以求出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)m的取值范圍，可以證明命題是假命題，然后用具體的數(shù)字說明．