Question

如圖，△ABC中AC=BC，D為邊AB上的一點，且∠BCD=3∠ACD，O為AC上一點，以O(shè)為圓心的⊙O恰好經(jīng)過C、D兩點．
（1）求證：直線AB為⊙O的切線；
（2）若BD=4，AD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，過C作CM垂直于AB，由AC=BC，根據(jù)三線合一得到CM為頂角∠ACB的平分線，又∠BCD=3∠ACD，設(shè)∠ACD=x，可得∠BCD=3x，進(jìn)而得到∠ACB=4x，根據(jù)角平分線定義可得∠ACM=2x，再用∠ACM-∠ACD可得∠DCM=x，再根據(jù)半徑OC=OD，利用等邊對等角，可得一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得OD與CM平行，有CM與AB垂直可得OD與AB垂直，可得AB為圓O的切線；
（2）由AC=BC，且CM為底邊上的高，根據(jù)三線合一得到M為AB的中點，再由AD及BD的值求出AB的值，進(jìn)而求出AM的值，可求出DM的值為1，過D作DN垂直AC，由（1）得到CD為∠ACM的平分線，根據(jù)角平分線定理得到DM=DN，可得DN的值為1，在直角三角形ADN中，由DN=1，斜邊AD=2，可得∠A為30°，在直角三角形AOD中，根據(jù)正切的定義，tanA等于對邊OD比鄰邊AD，利用特殊角的三角函數(shù)值及AD的長即可求出半徑OD的長．

解答：解：（1）連接OD，過C作CM⊥AB，如圖所示：

∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴CM平分∠ACB，
又∠BCD=3∠ACD，設(shè)∠BCD=3x，∠ACD=x，
∴∠ACM=2x，
∴∠DCM=∠ACM-∠ACD=x，
又OC=OD，∴∠ODC=∠ACD=x，
∴∠ODC=∠DCM，
∴OD∥CM，又∠AMC=90°，
∴∠ADO=90°，即OD⊥AD，
∴AB為圓O的切線；

（2）∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴M為AB的中點，即AM=BM，
又AD=2，BD=4，
∴AM=

1

2

AB=3，則DM=AM-AD=3-2=1，
過D作DN⊥AC，
∵∠ACD=∠MCD，又DM⊥MC，DN⊥AC，
∴DM=DN=1，
在直角三角形ADN，DM=1，AD=2，
∴∠A=30°，
在直角三角形AOD中，
tanA=

OD

AD

，即tan30°=

OD

2

，
∴OD=2×

3

3

=

2 3

3

．

點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定理，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，以及直角三角形的性質(zhì)，判定切線的方法為：有點連接證垂直；無點過圓心作垂線，證明垂線段長等于半徑，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．