Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂外切于A，AB是⊙O₂的直徑，BC切⊙O₁于C，若∠B=30°，BC=6．
求：（1）∠BCA的度數(shù)；（2）⊙O₁與⊙O₂的半徑．

Answer 1

解：（1）連接O₁C，O₁A，則O₁C⊥BC，O₂，A，O₁共線，
在Rt△BCO₁中，
∵∠B=30°，BC=，
∴∠AO₁C=60°，O₁B=2O₁C．
∵O₁A=O₁C，
∴AB=AC=AO₁
∴∠BCA=∠B．
∴∠BCA=30°．

（2）在Rt△BCO₁中，
∵∠B=30°，BC=，
∴O₁C=tan∠B×BC=6，O₁B=2O₁A==12．
∵O₁A=O₁C=6，
∴AB=O₁B-O₁A=6．
∴O₂A=AB=3．
∴⊙O₁，⊙O₂半徑分別為6和3．
分析：（1）作輔助線，連接O₁A，根據(jù)⊙O₁和⊙O₂外切，可知點(diǎn)O₂，A，O₁三點(diǎn)共線，連接O₁C，則O₁C⊥BC，在Rt△BCO₁中，由∠B=30°，可知O₁B=2O₁C，∠AO₁C=60°，可得△O₁AC為等邊三角形，AC=O₁A=AB，故∠BCA=∠B=30°．
（2）在Rt△BCO₁中，已知∠B和BC的值，可將O₁C即⊙O₁的半徑求出，O₁B的長求出，根據(jù)O₂A=（O₁B-O₁A），可將⊙O₂的半徑求出．
點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．